Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 5 x + 1$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 5 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $- 2$ por $y$ em $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Etapa 4.2.2

Some $15$ e $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Etapa 4.2.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Etapa 4.2.6

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Etapa 4.2.7

Multiplique $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

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Etapa 4.2.7.1

Combine $\frac{2}{15}$ e $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Etapa 4.2.7.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{128}{15}$ dos dois lados da equação.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Etapa 4.3.3

Combine $- 2$ e $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 2$ por $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $128$ de $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{158}{15}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{158}{15}$ por $K$ em $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{158}{15}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{15}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2$ de $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$