Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} e^{2 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{2 y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} e^{2 y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{2 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = - 2 y$ . Depois, $d u = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Etapa 2.2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 2 y} = - 2 x - 2 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- 2 x - 2 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{- 2 y})$ movendo $- 2 y$ para fora do logaritmo.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- 2 x - 2 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- 2 x - 2 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 y = \ln (- 2 x - 2 K)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (- 2 x - 2 K)$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (- 2 x - 2 K)$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- 2 x - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- 2 x - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (- 2 x - 2 K)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{\ln (- 2 x + K)}{2}$