Cálculo Exemplos

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Etapa 1.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 y = - y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- x y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $- 2 y - - y$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Etapa 4.3.2.3

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{- x}$

Etapa 4.3.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} - y^{2}$ por $x$ .

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Etapa 6.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Etapa 6.3.2

Some $2$ e $1$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $- x y$ por $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Mova $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - x^{2} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $- x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $- x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.3.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.3.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.3.3.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Etapa 8.3.3.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.3

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.7

Combine $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.3.8.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.3.8.2.4

Divida $- y^{2} x$ por $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Some $y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Some $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 15.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$