Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.1.3

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Some $6 y x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $6 y x - y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $6 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

Etapa 1.2.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

Etapa 1.2.3

Fatore $y$ de $y (6 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{3 x^{2} - x + C}$ como $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{3 x^{2} - x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{3 x^{2} - x}$