Cálculo Exemplos

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ dos dois lados da equação.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y \ln (\frac{x}{y})$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.8

Combine $\frac{y}{x}$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.9

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.10

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.13

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.14

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Combine $x$ e $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.14.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.14.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.14.3

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.16

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.1

Mova $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.16.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.17

Simplifique $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Etapa 2.19

Multiplique $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Etapa 2.20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 2.20.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2.3.2

Multiplique $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.2.5

Some $0$ e $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 5.3.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{x}{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y}$

Etapa 5.3.5

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Etapa 5.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Reescreva $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ como $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x$ por $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 7.6

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{x}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 9.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Etapa 9.3

Simplifique.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 12

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Etapa 13.1.2

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Subtraia $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ dos dois lados da equação.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Etapa 13.1.2.2

Reescreva.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.3

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Etapa 13.1.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Etapa 13.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y \ln (\frac{x}{y})$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Etapa 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.7

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.8

Combine $\frac{y}{x}$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.9

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.10

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.13

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.14

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.14.1

Combine $x$ e $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.14.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.14.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.14.3

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.16

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.16.1

Mova $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.16.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.17

Simplifique $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 13.1.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Etapa 13.1.3.19

Multiplique $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Etapa 13.1.3.20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.3.20.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.4

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 13.1.5

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Substitua $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Etapa 13.1.5.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ não é uma identidade.

Etapa 13.1.6

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 13.1.6.2

Substitua $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Etapa 13.1.6.3

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.3.1

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2.3

Multiplique $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2.3.2

Multiplique $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.2.5

Some $0$ e $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Etapa 13.1.6.3.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Etapa 13.1.6.3.4

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{x}{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Etapa 13.1.6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y}$

Etapa 13.1.6.3.5

Substitua $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.3.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Etapa 13.1.6.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y}$

Etapa 13.1.6.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 13.1.7

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 13.1.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 13.1.7.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 13.1.7.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 13.1.7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.7.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 13.1.7.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 13.1.7.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 13.1.8

Multiplique ambos os lados de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Multiplique $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $y$ de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.4

Reescreva $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ como $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Etapa 13.1.8.5

Multiplique $x$ por $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 13.1.8.6

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Etapa 13.1.9

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Etapa 13.1.10

Integre $N (x, y) = \frac{x}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.1.10.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Etapa 13.1.10.3

Simplifique.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Etapa 13.1.11

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Etapa 13.1.12

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1

Simplifique $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1.1

Cancele o fator comum de $d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.3

Fatore $x$ de $x \ln (| y |) + g x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1.3.1

Fatore $x$ de $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.3.2

Fatore $x$ de $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.3.3

Fatore $x$ de $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.13.1.4.2

Divida $\ln (| y |) + g$ por $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Etapa 13.1.14

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Etapa 13.1.15

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Etapa 13.1.16

Combine $| y |$ e $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Etapa 13.1.17

Reordene os fatores em $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- g$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Etapa 14.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = - g x + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$