Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Etapa 1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Etapa 1.1.2

Subtraia $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $y$ de $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = (x + 3) (x - 3)$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = (x + 3) (x - 3)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3.4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.3.2.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.3.2.1.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Etapa 2.3.2.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.3.2.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3.8.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Etapa 2.3.2.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Etapa 2.3.2.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 2.3.2.1.3.8.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.3.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Para escrever $\ln (| y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.5.1

Combine $\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.7

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Etapa 3.7.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Etapa 3.7.1.2

Reescreva $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Etapa 3.7.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.4

Aplique a regra do produto a $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.6

Simplifique.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Etapa 3.9

Reescreva $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.10

Resolva $y$ .

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Etapa 3.10.1

Reescreva a equação como $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Etapa 3.10.2

Divida cada termo em $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 3.10.2.1

Divida cada termo em $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.10.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$