Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 5 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 5 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{5 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Diferencie $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

Etapa 6.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.2.1.3.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 6.2.1.3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

Etapa 6.2.1.3.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 6.2.1.3.4.3

Combine $\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4.4

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.4.4.1

Fatore $2$ de $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Etapa 6.2.1.3.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.3.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

Etapa 6.2.1.3.4.4.2.4

Divida $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Etapa 6.2.1.3.4.5

Reordene os fatores em $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

Etapa 6.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Reescreva $5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

Etapa 6.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 1 u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.3

Multiplique $u_{2}$ por $1$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = u_{2} + C$

Etapa 6.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

Etapa 6.4.4

Reordene os termos.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ e $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ de $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $0$ .

$y = e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4

Divida $0$ por $2$ .

$y = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$