Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $4 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Etapa 3.4.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{2} y = x^{4} + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{2} y = x^{4} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Etapa 10.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Etapa 10.2.3

Divida $C$ por $1$ .

$1 + C = 0$

Etapa 10.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = - 1$

Etapa 11

Substitua $- 1$ por $C$ em $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $- 1$ por $C$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Etapa 11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$