Cálculo Exemplos

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y \cos (x)$ em relação a $y$ é $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x e^{y}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Etapa 1.5.2

Reordene os fatores em $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} e^{y}$ em relação a $x$ é $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $\cos (x) + 2 e^{y} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Etapa 2.6.3

Reordene os fatores em $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x e^{y} + \cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x e^{y} + \cos (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.3

Como $x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Etapa 5.4

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sin (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} e^{y}$ em relação a $x$ é $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.5

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Some $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ e $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.7.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 8.7.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Etapa 9.1.2

Subtraia $2 x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Etapa 9.1.3.2

Some $2 x e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $2 x e^{y}$ de $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$