Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Etapa 7.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Etapa 7.6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Etapa 7.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Etapa 7.8.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Etapa 7.9

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.9.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.9.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 7.9.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Etapa 7.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Etapa 7.11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Etapa 7.12

Reescreva $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ como $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Etapa 7.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Etapa 7.14

Simplifique.

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Etapa 7.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Etapa 7.14.2

Simplifique.

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Etapa 7.14.2.1

Multiplique $- (- x^{2} e^{- x})$ .

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Etapa 7.14.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Etapa 7.14.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Etapa 7.14.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Etapa 7.14.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 8.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Etapa 10.2

Simplifique $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Etapa 10.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Etapa 10.2.1.4

Divida $C$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Etapa 10.2.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + 2 + C$ .

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Etapa 10.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Etapa 10.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2 + C = 0$

Etapa 10.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$C = - 2$

Etapa 11

Substitua $- 2$ por $C$ em $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $- 2$ por $C$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Etapa 11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$