Cálculo Exemplos

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y^{4}$ de $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{y^{4}}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Mova $y^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 4}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Combine $y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.1.2

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2.5.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{3}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ por $y^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ por $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y^{3}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ .

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y^{3}$ de $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y^{3}$ de $x^{4} y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y^{3}$ de $- x y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y^{3}$ de $K y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Etapa 3.3.2.4

Fatore $y^{3}$ de $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ .

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Etapa 3.3.2.5

Fatore $y^{3}$ de $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ .

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ por $x^{4} - x + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ por $x^{4} - x + K$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4} - x + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Etapa 3.3.5.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Etapa 3.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.2

Eleve $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ à potência de $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.3.5.7.4

Some $1$ e $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Etapa 3.3.5.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ como $x^{4} - x + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ como ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.3.5.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.3.5.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Etapa 3.3.5.7.5.5

Simplifique.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Etapa 3.3.5.8

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$