Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{9 + 20 x}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} + \frac{20 x}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Divida $20$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int 20 d x$

Etapa 2.3.4

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \int \frac{1}{x} d x + \int 20 d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 20 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + 20 x + C_{3}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \ln (| x |) + 20 x + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (20 x) + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique $20$ por $3$ .

$y^{3} = 60 x + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$y^{3} = 60 x + 27 \ln (| x |) + 3 C$

Etapa 3.3

Simplifique $27 \ln (| x |)$ movendo $27$ para dentro do logaritmo.

$y^{3} = 60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + C}$