Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $π$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{π^{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Etapa 4.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Etapa 4.3.3

Some $3$ e $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Etapa 5

Substitua $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ por $K$ em $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$