Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x^{2} + 8$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x^{2} + 8$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Combine $u^{- \frac{1}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $u^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ como $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Etapa 4.2.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Etapa 4.2.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$K = - 12$

Etapa 5

Substitua $- 12$ por $K$ em $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- 12$ por $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$