Cálculo Exemplos

$\frac{d A}{d t} = 0.05 A + 3200$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{0.05 A + 3200}$ .

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $0.05 A + 3200$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} d A = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{0.05 A + 3200} d A = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 0.05 A + 3200$ . Depois, $d u = 0.05 d A$ , então, $\frac{1}{0.05} d u = d A$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 0.05 A + 3200$ . Encontre $\frac{d u}{d A}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{0.05}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $0.05$ por $1$ .

$0.05$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{20}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Como $20$ é constante com relação a $u$ , mova $20$ para fora da integral.

$20 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$20 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$20 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.05 A + 3200$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $A$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ por $20$ .

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 0.05 A + 3200 |)$ por $1$ .

$\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Etapa 3.2

Para resolver $A$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 0.05 A + 3200 |)} = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} = | 0.05 A + 3200 |$

Etapa 3.4

Resolva $A$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$ .

$| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$0.05 A + 3200 = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $3200$ dos dois lados da equação.

$0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ por $0.05$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ por $0.05$ .

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $0.05$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Fatore $0.05$ de $0.05$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05 (1)} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.4

Separe as frações.

$A = \frac{1}{0.05} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.5

Divida $1$ por $0.05$ .

$A = 20 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.6

Divida $\pm e^{\frac{t + C}{20}}$ por $1$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) + \frac{- 3200}{0.05}$

Etapa 3.4.4.3.1.7

Divida $- 3200$ por $0.05$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) - 64000$