Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $y \tan (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $y$ de $y \tan (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (| y \sec (x) |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y \sec (x) |$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $| y \sec (x) | = e^{C}$ .

$| y \sec (x) | = e^{C}$

Etapa 3.6.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $y \sec (x) = \pm e^{C}$ por $\sec (x)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $y \sec (x) = \pm e^{C}$ por $\sec (x)$ .

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.3.1

Separe as frações.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Etapa 3.6.3.3.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 3.6.3.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

Etapa 3.6.3.3.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

Etapa 3.6.3.3.5

Divida $\pm e^{C}$ por $1$ .

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

Etapa 3.6.3.3.6

Reordene os fatores em $(\pm e^{C}) \cos (x)$ .

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \cos (x) C$