Cálculo Exemplos

$x (y + 1) d x = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$(y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y = x (y + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} (y^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y + 1}$ por $y^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $y + 1$ de $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida $y^{2} + 1$ por $y + 1$ .

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Etapa 4.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Etapa 4.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Etapa 4.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} + y$ .

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Etapa 4.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Etapa 4.2.1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					-	$y$	-	$1$

Etapa 4.2.1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y - 1$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$
							+	$2$

Etapa 4.2.1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int y - 1 + \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.6

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.6.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.6.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{3}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.8

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 4.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{5}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$