Cálculo Exemplos

$x (y d) y - (x + 1) d x = 0$

Etapa 1

Some $(x + 1) d x$ aos dois lados da equação.

$x y d y = (x + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $x + 1$ .

$y d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 5.3

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 5.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$