Cálculo Exemplos

$(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x + 2 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x + 2 y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Etapa 1.4

Some $0$ e $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y = 2 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 y = 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y - (2 y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y$ por $N$ .

$\frac{4 y - (2 y)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $4 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (4 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (4 - 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{2 x}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 x}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x + 2 y^{2}$ por $x$ .

$(3 x + 2 y^{2}) x d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x \cdot x + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $x$ .

$(3 (x \cdot x) + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $2 x y$ por $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Mova $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 (x \cdot x) y d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x^{2} y d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 x^{2} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $2 x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Multiplique $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $3 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 13.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{3} + C$