Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 2$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{2 t}$ por $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 6.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 6.5

Simplifique.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 6.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ por $e^{2 t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ por $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{2 t}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $\frac{2}{5}$ por $y$ em $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.2

Para escrever $\frac{2}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.3

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.4.1

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Etapa 9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Etapa 9.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Etapa 9.3.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Etapa 9.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{1}{10}$

Etapa 10

Substitua $- \frac{1}{10}$ por $C$ em $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $- \frac{1}{10}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $\frac{1}{e^{2 t}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Etapa 10.2.3

Mova $10$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$