Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sqrt{x}}{4 y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $y$ de $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

Etapa 1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

Etapa 1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Etapa 2.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 4} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + K$