Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Etapa 2.3.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{5} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $\frac{2}{5}$ por $y$ em $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Etapa 9.2.3

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Subtraia $\frac{1}{5}$ dos dois lados da equação.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Etapa 9.3.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Etapa 10

Substitua $\frac{1}{5}$ por $C$ em $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua $\frac{1}{5}$ por $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 10.2.2

Combine.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$