Cálculo Exemplos

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y + t$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Etapa 3.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Etapa 3.4

Como $t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $t$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Etapa 3.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = 0$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 5.3.3

Substitua $y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y d t + (2 y + t) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $2 y + t$ por $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $2 y + t$ por $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 12.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 12.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{2 y + t}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Etapa 13.3

Divida a fração em diversas frações.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Etapa 13.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 13.5.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Etapa 13.5.2

Divida $2$ por $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Etapa 13.6

Aplique a regra da constante.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Etapa 13.7

Como $t$ é constante com relação a $y$ , mova $t$ para fora da integral.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.8

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Etapa 13.9

Simplifique.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$