Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $3 y - 2 y + 5$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $2 y$ de $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u_{1} = y + 5$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 5$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 2 x + 5$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 2 x + 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Para escrever $\ln (| y + 5 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $\ln (| y + 5 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y + 5 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y + 5 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

Etapa 3.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ .

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2

Simplifique.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Etapa 3.9.2

Multiplique os dois lados por ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.3.1

Cancele o fator comum de ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$