Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x - y}$ , $y (0) = \ln (8)$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x - y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{x - y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 2 v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$

Etapa 5.1.2

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 v)$ como $- (2 v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3.1.4

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + 1$

Etapa 5.1.3

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Etapa 5.1.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (- 2 v + 1) v$

Etapa 5.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Simplifique $(- 2 v + 1) v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v \cdot v + 1 v$

Etapa 5.1.4.2.1.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 (v \cdot v) + 1 v$

Etapa 5.1.4.2.1.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + 1 v$

Etapa 5.1.4.2.1.3

Multiplique $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + v$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 2 v^{2} + v}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v^{2} + v} (- 2 v^{2} + v)$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $v$ de $- 2 v^{2} + v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $v$ de $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v} (- 2 v^{2} + v)$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}} (- 2 v^{2} + v)$

Etapa 5.3.1.3

Fatore $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1} (- 2 v^{2} + v)$

Etapa 5.3.1.4

Fatore $v$ de $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v + 1)} (- 2 v^{2} + v)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$ por $- 2 v^{2} + v$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v^{2} + v}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.3

Fatore $v$ de $- 2 v^{2} + v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $v$ de $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v^{1}}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v \cdot 1}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $v$ de $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $- 2 v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = 1 d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = \int d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $v$ de $- 2 v^{2} + v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Fatore $v$ de $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Fatore $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.1.1.4

Fatore $v$ de $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (- 2 v + 1)$ .

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $- 2 v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.1.2

Divida $A (- 2 v + 1)$ por $1$ .

$1 = A (- 2 v + 1) + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (- 2 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = - 2 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.4

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.5

Cancele o fator comum de $- 2 v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.5.2

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = - 2 A v + A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = - 2 v A + A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.2

Reordene $B$ e $v$ .

$1 = - 2 v A + A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.3

Mova $A$ .

$1 = - 2 v A + B v + A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 2 A + B$ por $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 2 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 2 A = 1$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 2, A = 1$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 2 v + 1}$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Fatore $- 1$ de $- 2 v$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) + 1}$

Etapa 6.2.1.5.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.1.5.3

Fatore $- 1$ de $- (2 v) - 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v - 1)}$

Etapa 6.2.1.5.4

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.4.1

Reescreva $- (2 v - 1)$ como $- 1 (2 v - 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 1 (2 v - 1)}$

Etapa 6.2.1.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{v} - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.5

Como $2$ é constante com relação a $v$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - (2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v) = \int d x$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.7

Deixe $u_{2} = 2 v - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d v$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Deixe $u_{2} = 2 v - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.1

Diferencie $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Etapa 6.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 v - 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.7.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2 v$ em relação a $v$ é $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.7.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.2.7.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Etapa 6.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.10.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 6.2.12

Simplifique.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

Etapa 7.2

Reordene $x$ e $C$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

Etapa 7.3

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

Etapa 7.4

Reescreva $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Etapa 7.5

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

Etapa 7.5.2

Multiplique os dois lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Etapa 7.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Etapa 7.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

Etapa 7.5.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C + x} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

Etapa 7.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reordene os termos.

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

Etapa 8.3

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

Etapa 8.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C | u_{2} | e^{x}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{x - y})$ movendo $x - y$ para fora do logaritmo.

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x - y$ por $1$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Etapa 10.3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reescreva $\ln (C | u_{2} | e^{x})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Etapa 10.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Etapa 10.3.3

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

Etapa 10.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

Etapa 10.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $\ln (C | u_{2} |) + x - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 10.6

Divida cada termo em $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Divida cada termo em $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 10.6.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ como $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 11

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $\ln (8)$ por $y$ em $y = - \ln (C | u_{2} |)$ .

$\ln (8) = - \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 12

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reescreva a equação como $- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$ .

$- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$

Etapa 12.2

Simplifique $- \ln (C | u_{2} |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(C | u_{2} |)}^{- 1}) = \ln (8)$

Etapa 12.3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

${(C | u_{2} |)}^{- 1} = 8$

Etapa 12.4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$

Etapa 12.4.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$C | u_{2} |, 1$

Etapa 12.4.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$C | u_{2} |$

Etapa 12.4.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ por $C | u_{2} |$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ por $C | u_{2} |$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Etapa 12.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $C | u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Etapa 12.4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 8 (C | u_{2} |)$

Etapa 12.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.3.1

Remova os parênteses.

$1 = 8 C | u_{2} |$

Etapa 12.4.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.1

Reescreva a equação como $8 C | u_{2} | = 1$ .

$8 C | u_{2} | = 1$

Etapa 12.4.4.2

Divida cada termo em $8 C | u_{2} | = 1$ por $8 | u_{2} |$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.2.1

Divida cada termo em $8 C | u_{2} | = 1$ por $8 | u_{2} |$ .

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Etapa 12.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Etapa 12.4.4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Etapa 12.4.4.2.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Etapa 13

Substitua $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ por $C$ em $y = - \ln (C | u_{2} |)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ por $C$ .

$y = - \ln (\frac{1}{8 | u_{2} |} | u_{2} |)$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Fatore $| u_{2} |$ de $8 | u_{2} |$ .

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Etapa 13.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \ln (\frac{1}{8})$