Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$