Cálculo Exemplos

$(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x y - 2 a y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - 2 a y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - 2 a y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2 a$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 a y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a (2 y)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 4 a y$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 a y + 3 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - 2 a y x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a y x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 a y x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2 a y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 a y x$ em relação a $x$ é $- 2 a y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 a y + 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 4 a y + 3 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 a y + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 4 a y + 3 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 a y + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} - 2 a y x$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} - 2 a y x$ por $N$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.2.4

Some $- 4 a y$ e $2 a y$ .

$\frac{- 2 a y + 3 x - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x^{2} - 2 a y x}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 a y x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x - 2 a y x}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $x$ de $- 2 a y x$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x + x (- 2 a y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 a y)$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x (x - 2 a y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 2 a y + x$ e $x - 2 a y$ .

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Etapa 4.3.4.1

Reordene os termos.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Etapa 4.3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x y - 2 a y^{2}$ por $x$ .

$(3 x y - 2 a y^{2}) x d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x y x - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} - 2 a y x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) x d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Some $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Mova $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y (x \cdot x)) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x^{2}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Etapa 8.2

Como $3 y$ é constante com relação a $x$ , mova $3 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 a y^{2} x d x$

Etapa 8.4

Como $- 2 a y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2 a y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} \int x d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.7.5

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + a y^{2} \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.7.6

Combine $a$ e $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Etapa 8.7.7

Combine $y^{2}$ e $\frac{a (- 2 x^{2})}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} (a (- 2 x^{2}))}{2} + C$

Etapa 8.7.8

Remova os parênteses.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Etapa 8.7.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 8.7.9.1

Fatore $2$ de $y^{2} a (- 2 x^{2})$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2} + C$

Etapa 8.7.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Etapa 8.7.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 8.7.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- x^{2})}{1} + C$

Etapa 8.7.9.2.4

Divida $y^{2} a (- x^{2})$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x^{3}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $a \cdot - 1 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} a (- x^{2})$ em relação a $y$ é $a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.4.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$x^{3} - 1 \cdot a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.4.4

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$x^{3} - a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3}$

Etapa 12.1.2

Some $2 x^{2} a y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 0 + 2 x^{2} a y$

Etapa 12.1.3.2

Some $- 2 a y x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 2 x^{2} a y$

Etapa 12.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $- 2 a y x^{2}$ e $2 x^{2} a y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{2} a y + 2 x^{2} a y$

Etapa 12.1.3.4

Some $- 2 x^{2} a y$ e $2 x^{2} a y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Etapa 15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} a x^{2} + C$