Cálculo Exemplos

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2.3.3

Como $0.2$ é constante com relação a $y$ , mova $0.2$ para fora da integral.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2.3.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Etapa 2.3.4.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Etapa 2.3.4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Etapa 2.3.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$