Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} = 2 x$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (2 x - 3 x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.5

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 2.3.6.2.5.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.5.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} - x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + K$