Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Combine frações.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.5

Multiplique $u^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$