Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{y + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x - 2}{y + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x - 2}{y + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x - 2$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y + 1) d y = (x - 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y + 1 d y = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int d y = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x - 2 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x - 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 2 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 2 x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{x^{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = - 2 x + K$

Etapa 3.3.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} + 2 x = K$

Etapa 3.3.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} + 2 x - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 4 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 4 x - 2 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} + 4 x - 2 K + 2 y = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $4 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 4 x + 2 y = 0$

Etapa 3.4.5

Reordene $y^{2}$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 4 x + 2 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - x^{2} - 2 K + 4 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K + 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.7.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Fatore $4$ de $4 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K - 16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.2

Fatore $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) - 16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.3

Fatore $4$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.4

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.5

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.6

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $4 (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)$ como $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x)$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K - 4 x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K - 4 x}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K - 4 x}$