Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 7}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y^{2}$ de $(x + 7) y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x + 7$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 7$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

Etapa 3.3

Simplifique $3 \ln (| x + 7 |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$