Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $x$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Etapa 1.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V^{2} + V - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $V^{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $V^{2}$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.1

Mova $V^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- 2}$ com relação a $V$ é $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva $- V^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$V, 1, 1$

Etapa 6.3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$V$

Etapa 6.3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ por $V$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ por $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $V$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{V}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Reordene os fatores em $\ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Etapa 6.3.3

Resolva a equação.

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Etapa 6.3.3.1

Reescreva a equação como $V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Etapa 6.3.3.2

Fatore $V$ de $V \ln (| x |) + C V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $V$ de $C V$ .

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Etapa 6.3.3.2.2

Fatore $V$ de $V \ln (| x |) + V C$ .

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Etapa 6.3.3.3

Divida cada termo em $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 6.3.3.3.1

Divida cada termo em $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| x |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.3.3.3.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$