Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{5}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{5 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{5})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{5}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{5}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{5}{x}$ e $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ como $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Etapa 7.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Etapa 7.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ por $x^{5}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ por $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{6}$ e $x^{5}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{5}$ de $\frac{1}{2} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$