Cálculo Exemplos

$(y + 1) d x - x d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$- x d y = - (y + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (y + 1)}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (y + 1)}$ para o numerador.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Subtraia $\ln (| x |)$ dos dois lados da equação.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Divida $\ln (| y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Divida $\ln (| x |)$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

Etapa 5.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

Etapa 5.8.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Etapa 5.8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 5.8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Etapa 5.8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

Etapa 5.8.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.4.1

Reordene os fatores em $e^{- C} | x |$ .

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

Etapa 5.8.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

Etapa 5.8.4.3

Reordene os fatores em $\pm | x | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

Etapa 5.8.4.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C | x | - 1$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x | - 1$