Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

Etapa 1.2

Reordene $x$ e $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{2}{t}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{t}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (t)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (t^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$t^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $t^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{t}$ e $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

Etapa 3.3

Mova $4$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ como $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Etapa 7.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ por $t^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $t^{3}$ e $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $t^{2}$ de $\frac{4}{3} t^{3}$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{4}{3} t$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{4}{3}$ e $t$ .

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$