Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

Etapa 1.1.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{y}{x + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.6

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.7

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.8

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.9.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Multiplique $\frac{V}{1 + V} V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Combine $\frac{V}{1 + V}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

Etapa 6.1.1.1.2

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

Etapa 6.1.1.1.3

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

Etapa 6.1.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

Etapa 6.1.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Fatore $V$ de $V^{2} - V (1 + V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.1

Fatore $V$ de $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.2

Fatore $V$ de $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.3

Fatore $V$ de $V \cdot V + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4

Subtraia $V$ de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + V}{V}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $\frac{V}{1 + V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $1 + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 + V}{V}$ para o numerador.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Fatore $1 + V$ de $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.3

Fatore $1 + V$ de $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

Etapa 6.1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Etapa 6.1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Reordene os termos.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 8.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 8.3

Multiplique $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Etapa 8.3.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 8.4.2

Divida $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$