Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 5 x^{2}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (5 x^{2})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2} x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 (x^{2} x^{2})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2 + 2}$

Etapa 2.4.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 5 x^{4}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 5 x^{4} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int 5 x^{4} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$x^{2} y = 5 \int x^{4} d x$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Etapa 6.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Etapa 6.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} y = 1 x^{5} + C$

Etapa 6.3.2.3

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$x^{2} y = x^{5} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x^{2} y = x^{5} + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $x^{2} y = x^{5} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$y = x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$