Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{e^{x} - y}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $\frac{- y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.3

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{x}$ para o numerador.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.4.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.4.3

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.4.4

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int e^{x} d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = e^{x} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = e^{x} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$