Cálculo Exemplos

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Combine $v$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Etapa 2.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Etapa 2.2.3

Deixe $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{2} d v$ , então, $- 2 d u = d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Deixe $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Etapa 2.2.3.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13.6 - \frac{v}{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Como $13.6$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $13.6$ em relação a $v$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Etapa 2.2.3.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- \frac{v}{2}$ em relação a $v$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Etapa 2.2.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 2.2.3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.3.1.4

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.6

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.7.2

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.4

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.4.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.7.4.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.11

Reordene os termos.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ por $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Etapa 3.1.2.2

Combine $v$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Etapa 3.2

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Etapa 3.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $13.6$ dos dois lados da equação.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Etapa 3.4.4

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{v}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.1.1.2.2

Multiplique $v$ por $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Etapa 3.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.2.1

Simplifique $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Etapa 3.4.5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Etapa 3.4.6

Reordene $- \frac{t}{3}$ e $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Etapa 4.3

Reescreva $e^{- \frac{t}{3} + C}$ como $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Etapa 4.4

Reordene $e^{- \frac{t}{3}}$ e $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Etapa 4.5

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$