Cálculo Exemplos

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(2 x + Y) d x$ dos dois lados da equação.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $2 Y + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Etapa 3.4

Multiplique $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Etapa 3.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Etapa 3.4.3

Combine $\frac{- 2}{2 Y + x}$ e $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Etapa 3.5

Combine $Y$ e $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Etapa 3.10

Reescreva $- (2 x + Y)$ como $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 2 Y + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 2 Y + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 Y + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $2 Y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 Y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Etapa 4.3.3

Divida a fração em diversas frações.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Etapa 4.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.5

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.6

Divida a fração em diversas frações.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.8

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.9

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.12

Como $2 Y$ é constante com relação a $u$ , mova $2 Y$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Etapa 4.3.15

Como $Y$ é constante com relação a $u$ , mova $Y$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.16

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.17.1

Simplifique.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.17.2

Some $- 4 Y \ln (| u |)$ e $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.18

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.19.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.19.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.19.3.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Etapa 4.3.20

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$