Cálculo Exemplos

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Etapa 1.2

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y x^{2}$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 2 y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 2 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 3 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $3 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $3 y x^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $3 y x^{2}$ por $M$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6}{3 y}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $3 y x^{2}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $3 y x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.3

Combine $3$ e $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $- x^{3} - 2 y^{4}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- x^{3} - 2 y^{4}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11

Reescreva $- (x^{3} + 2 y^{4})$ como $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $\frac{3}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{3}{y}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $3$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Etapa 8.3.2.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{y}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Some $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $0$ e $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y^{4}$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Fatore $y^{2}$ de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.4

Divida $2 y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Etapa 12.1.2

Subtraia $2 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 2 y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Etapa 13.3

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Etapa 15.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$