Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.2

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $24$ por $y$ em $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Etapa 4.2

Simplifique $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Etapa 4.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $12$ por $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $12$ .

$12 + K = 24$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$K = 24 - 12$

Etapa 4.3.2

Subtraia $12$ de $24$ .

$K = 12$

Etapa 5

Substitua $12$ por $K$ em $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $12$ por $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$