Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Etapa 1.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $y$ de $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Etapa 1.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x + 7$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x + 7 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Etapa 3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x + 7 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de ${(x + 7)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Simplifique $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.4.1.1

Reescreva ${(x + 7)}^{2}$ como $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Etapa 3.5.4.1.2

Expanda $(x + 7) (x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Etapa 3.5.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Etapa 3.5.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Etapa 3.5.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Etapa 3.5.4.1.3.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Etapa 3.5.4.1.3.1.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Etapa 3.5.4.1.3.2

Some $7 x$ e $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Etapa 3.5.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Etapa 3.5.4.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.4.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Etapa 3.5.4.1.5.2

Mova $49$ para a esquerda de $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Etapa 3.5.4.1.6

Reordene os fatores em $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$