Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = 9 e^{t} - 5$ ; , $x (0) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d x = (9 e^{t} - 5) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d x = \int 9 e^{t} - 5 d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$x + C_{1} = \int 9 e^{t} - 5 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C_{1} = \int 9 e^{t} d t + \int - 5 d t$

Etapa 2.3.2

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$x + C_{1} = 9 \int e^{t} d t + \int - 5 d t$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 9 (e^{t} + C_{2}) + \int - 5 d t$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$x + C_{1} = 9 (e^{t} + C_{2}) - 5 t + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$x + C_{1} = 9 e^{t} - 5 t + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$x + C_{1} = - 5 t + 9 e^{t} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$x = - 5 t + 9 e^{t} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $2$ por $x$ em $x = - 5 t + 9 e^{t} + K$ .

$2 = - 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K = 2$ .

$- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique $- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 9 e^{0} + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 9 \cdot 1 + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$0 + 9 + K = 2$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $9$ .

$9 + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - 9$

Etapa 4.3.2

Subtraia $9$ de $2$ .

$K = - 7$

Etapa 5

Substitua $- 7$ por $K$ em $x = - 5 t + 9 e^{t} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- 7$ por $K$ .

$x = - 5 t + 9 e^{t} - 7$