Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{2 x + 1}{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.4

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{2 x + 1}{x}$ e $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.2.2

Combine $e^{2 x + \ln (x)}$ e $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.3

Para escrever $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Fatore $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

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Etapa 2.5.1.1

Fatore $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Etapa 2.6

Multiplique $e^{2 x + \ln (x)}$ por $e^{- 2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Etapa 2.6.2

Combine os termos opostos em $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

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Etapa 2.6.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Etapa 2.6.2.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Etapa 2.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Etapa 2.8

Reordene os fatores em $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{2 x + \ln (x)}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.3.1.3

Combine.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$