Cálculo Exemplos

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - 3 p + t^{2} - 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - 3 p) + t^{2} - 3$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 3) + 1 (t^{2} - 3)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $t^{2} - 3$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 3) (p + 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{p + 1}$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t^{2} - 3) (p + 1))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $p + 1$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $p + 1$ de $(t^{2} - 3) (p + 1)$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 3$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 3) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 3 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = p + 1$ . Depois, $d u = d p$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = p + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d p}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $p + 1$ .

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $p + 1$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $1$ em relação a $p$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 3 d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $p + 1$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 3 d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 3 d t$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 3 t + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$

Etapa 3

Resolva $p$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $p$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C} = | p + 1 |$

Etapa 3.3

Resolva $p$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C} - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$ como $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C} - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t}$ e $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$