Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $e^{y}$ de ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Etapa 1.2.3

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Etapa 1.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Etapa 1.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Etapa 1.2.4.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Etapa 2.3.3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Etapa 2.3.6.3

Reordene os termos.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 x^{2})$ como $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ como $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.8

Reescreva $- 1 \cdot (4 x)$ como $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.9

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.10

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Etapa 3.1.3.1.11

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln (e^{- y})$ movendo $- y$ para fora do logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 3.4.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ como $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ por $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.3

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.6.2

Subtraia $1$ de $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.8

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.9

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.11.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.11.2

Subtraia $12$ de $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Etapa 6.3

Para resolver $K$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Etapa 6.4

Reescreva $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Etapa 6.5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Etapa 6.5.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Etapa 6.5.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Some $\frac{19}{3}$ aos dois lados da equação.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Etapa 6.5.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Etapa 6.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Etapa 6.5.3.4

Some $3$ e $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Etapa 7

Substitua $\frac{22}{3}$ por $K$ em $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{22}{3}$ por $K$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$