Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 + y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$2 + y, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 + y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ por $2 + y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 + y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 + y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

Etapa 3.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

Etapa 3.2.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ .

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2 K$ dos dois lados da equação.

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $x y + K y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ por $x + K$ e simplifique.

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Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ por $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x + K$ .

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Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$