Cálculo Exemplos

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - 2 y - 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x - 3)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 3)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 + 1}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- (x - 3)$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- (x - 3)$ por $N$ .

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

Etapa 4.3.2

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

Etapa 4.3.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{x - 3}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 5.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Etapa 5.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | u | + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ pelo fator de integração $x - 3$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x - 2 y - 1$ por $x - 3$ .

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.2

Expanda $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.3.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.4

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- (x - 3)$ por $x - 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

Etapa 6.8

Expanda $(- x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

Etapa 6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

Etapa 6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Etapa 6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.9.1.1.1

Mova $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Etapa 6.9.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Etapa 6.9.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Etapa 6.9.1.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

Etapa 6.9.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ .

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 6 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.7

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.9

Multiplique $6$ por $1$ .

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.3.10

Some $- 2 x + 6$ e $0$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.5.2

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ .

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Etapa 12.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $- 2 y x$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Etapa 12.1.3.2

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

Etapa 12.1.3.3

Some $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

Etapa 12.1.3.4

Subtraia $6 y$ de $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

Etapa 12.1.3.5

Some $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{2} - 4 x + 3$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 13.5

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 13.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Etapa 13.7

Aplique a regra da constante.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Etapa 13.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Etapa 13.9

Simplifique.

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 13.10

Reordene os termos.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Etapa 15.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$